\chapter{查尔斯·汤姆逊·里斯·威尔逊：\\云粒子凝结方程的早期推导 (1895-1899)}

\fancyhead[L]{云室物理基础研究}
\fancyhead[R]{C.T.R. Wilson, 1897}
\fancyfoot[C]{\thepage}

\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{derivation}[theorem]{推导}

date{2025.08.29}
	
	\begin{abstract}
		本文旨在重现与诠释查尔斯·汤姆逊·里斯·威尔逊（Charles Thomson Rees Wilson，1869年2月14日—1959年11月15日）在其开创性研究期间（1895-1899）所发展的核心理论：**过饱和蒸汽在离子上凝结的平衡方程**。威尔逊通过巧妙的实验观察到，当空气绝热膨胀超过某一临界比值时，饱和蒸汽会在离子等带电粒子上发生凝结，形成可见的液滴。本文将从热力学基本原理出发，推导描述这一现象的凝结方程（后人常称之为“威尔逊方程”），并阐释其作为云室（Cloud Chamber）发明之理论基石的深远意义。本文使用现代\LaTeX 排版，并辅以TikZ绘制的示意图以助理解。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	在十九世纪末，C.T.R. Wilson在剑桥卡文迪许实验室致力于在受控条件下重现云雾形成的过程。他的实验装置（其原理如图\ref{fig:expansion_chamber}所示）的核心是一个可精确控制膨胀比的密闭云室。威尔逊的系统性观测揭示了一个关键现象：纯净的饱和蒸汽即使适度膨胀也不会凝结；然而，若存在离子或尘埃等凝结核，膨胀后将立即引发凝结。尤为重要的是，他发现存在一个**临界膨胀比**，超过该值后，即使在没有传统凝结核（如尘埃）的纯净空气中，离子本身也足以成为有效的凝结核心。
	
	本文第二节将定义问题并引入关键物理量。第三节将从经典热力学中的开尔文公式（Kelvin's equation）出发，逐步推导威尔逊凝结方程。第四节将讨论该方程的理论内涵与威尔逊的实验观测如何相互印证。
	
	\section{问题定义与关键概念}
	
	\begin{definition}[过饱和度]
		过饱和度（$S$）定义为蒸汽的实际压强（$p_v$）与其在同一温度下平液面上的饱和蒸汽压（$p_{\text{sat}}$）之比：
		\begin{equation}
			S = \frac{p_v}{p_{\text{sat}}(T)}
		\end{equation}
		$S > 1$ 表示过饱和状态。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[临界半径（开尔文半径）]
		对于一个半径为 $r$ 的纯液滴，由于其表面曲率导致的附加压强（ Laplace压强 ），其平衡蒸汽压高于平液面的饱和蒸汽压。维持该液滴稳定所需的最小蒸汽压由开尔文公式给出：
		\begin{equation}
			\label{eq:kelvin}
			\ln\left(\frac{p_r}{p_{\text{sat}}}\right) = \frac{2\gamma V_l}{r k_B T}
		\end{equation}
		其中，$\gamma$ 是表面张力，$V_l$ 是液体的摩尔体积（或单个分子的体积），$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。对于给定的过饱和度 $S$，存在一个**临界半径** $r_c$：
		\begin{equation}
			\label{eq:critical_radius}
			r_c = \frac{2\gamma V_l}{k_B T \ln S}
		\end{equation}
		半径小于 $r_c$ 的液滴将蒸发，大于 $r_c$ 的则将生长。
	\end{definition}
	
	威尔逊的核心洞察在于：**离子提供了一个预成形的“核”，其有效尺寸减小了形成稳定液滴所需克服的能量壁垒**。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=stealth]
			% Main Chamber
			\draw[thick] (0, 0) rectangle (6, 4);
			\node at (3, 2) {水蒸气与空气混合物};
			\draw[fill=blue!10] (0, 0) rectangle (6, 0.5);
			\node[anchor=north] at (3, 0) {活塞};
			
			% Piston movement
			\draw[->, thick, red] (3, 0.5) -- (3, -0.7) node[anchor=north] {快速膨胀 $\Delta V$};
			\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=5pt, mirror}, yshift=0pt] (6.2, 0) -- node[anchor=west, xshift=5pt] {$V_0 \to V_0 + \Delta V$} (6.2, 4);
			
			% Before and After labels
			\node[anchor=south] at (1.5, 4.2) {膨胀前: $T_0$, $p_0$, 饱和};
			\node[anchor=south] at (4.5, 4.2) {膨胀后: $T_1$, $p_1$, 过饱和};
			
			% Ion and droplet
			\draw[fill=red] (2.5, 2) circle (2pt) node[anchor=west] {离子};
			\draw[fill=blue!30, opacity=0.7] (4.5, 2.5) circle (8pt);
			\draw[->] (2.5, 2.1) to [out=45, in=180] (4.4, 2.5);
			\node at (3.8, 3) {凝结成滴};
		\end{tikzpicture}
		\caption{威尔逊云室原理示意图。通过活塞快速膨胀，使室内气体冷却，蒸汽达到过饱和状态。离子作为凝结核，促使液滴形成。}
		\label{fig:expansion_chamber}
	\end{figure}
	
	\section{凝结方程的推导}
	
	威尔逊的理论旨在确定：**在给定的过饱和度 $S$ 下，一个半径为 $r_0$ 的带电核（如离子）能否成为一个稳定液滴的凝结中心**。
	
	考虑一个带有电荷 $q$（通常为基本电荷 $e$）的离子。形成围绕该离子的液滴时，系统的总自由能变化 $\Delta G$ 包含三项：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{表面能项}: $\Delta G_s = 4\pi r^2 \gamma$ （形成新表面所需的能量）
		\item \textbf{体自由能项}: $\Delta G_v = -\frac{4}{3}\pi r^3 \frac{\rho_l}{m} k_B T \ln S$ （气相到液相转变释放的能量，其中 $\rho_l/m$ 是单位体积内的分子数）
		\item \textbf{静电能项}: $\Delta G_e = -\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\epsilon r} - \frac{1}{r_0} \right)$ （电荷集中于液滴所带来的电能降低，$\epsilon$ 是水的介电常数，$r_0$ 是离子本身的初始半径，此项计算做了简化处理）。
	\end{enumerate}
	
	总自由能变化为：
	\begin{equation}
		\label{eq:deltaG_full}
		\Delta G(r) = 4\pi r^2 \gamma - \frac{4}{3}\pi r^3 \frac{\rho_l k_B T}{m} \ln S - \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\epsilon r} \right) + \text{常数}
	\end{equation}
	
	为找到形成临界液滴（即 $\Delta G$ 的极大值点，对应亚稳态平衡点）的条件，我们对 $\Delta G$ 求导并令其为零：
	\begin{equation}
		\frac{d\Delta G}{dr} = 8\pi r \gamma - 4\pi r^2 \frac{\rho_l k_B T}{m} \ln S + \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 \epsilon r^2} = 0
	\end{equation}
	
	将上述乘以 $r^2$ 并整理，得到：
	\begin{equation}
		8\pi \gamma r^3 - 4\pi \frac{\rho_l k_B T}{m} (\ln S) r^4 + \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 \epsilon} = 0
	\end{equation}
	
	这是一个关于 $r$ 的方程。威尔逊通过分析和实验对比发现，对于临界条件，可以找到一个与开尔文公式（公式\ref{eq:kelvin}）形式相似但经过修正的关系。他最终给出的平衡条件可以表述为：**存在一个临界过饱和度 $S_c$，使得带有电荷的核成为有效凝结核**。
	
	忽略离子的初始尺寸 $r_0$，并主要考虑静电能项的促进作用，最终的**威尔逊凝结方程**可简化为以下形式：
	\begin{equation}
		\label{eq:wilson_equation}
		\ln S_c \approx \frac{C_1}{T} - \frac{C_2}{T^{3/2}} \frac{1}{(q)^\alpha}
	\end{equation}
	其中 $C_1$, $C_2$ 为与物质性质（$\gamma$, $V_l$, $\epsilon$）相关的常数，$q$ 为电荷量，$\alpha$ 为指数。该方程表明：
	\begin{itemize}
		\item 临界过饱和度 $S_c$ 随温度 $T$ 变化。
		\item 离子的存在（$q \ne 0$）显著降低了所需的临界过饱和度（$S_c$ 值变小）。
		\item 电荷量 $q$ 越大，促进凝结的效果越强，所需的 $S_c$ 越小。
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=0.5\textwidth,
				xlabel={膨胀比 ($V/V_0$)},
				ylabel={临界过饱和度 $S_c$},
				xmin=1, xmax=1.5,
				ymin=0.9, ymax=6,
				grid=both,
				legend pos=north west,
				title={理论上的临界过饱和度与膨胀比关系（示意图）},
				tick label style={/pgf/number format/fixed}
				]
				% Saturation line
				\addplot[domain=1:1.5, dashed, thick, blue] {1};
				\addlegendentry{饱和线 ($S=1$)};
				
				% Homogeneous nucleation (no ions) - requires very high S
				\addplot[domain=1.1:1.5, red, thick] {4.5};
				\addlegendentry{均质成核（无核）};
				
				% Nucleation on dust/uncharged nuclei
				\addplot[domain=1.05:1.5, green!70!black, thick] {1.5};
				\addlegendentry{尘埃成核};
				
				% Nucleation on IONS (Wilson's discovery)
				\addplot[domain=1.01:1.3, violet, thick] {1.01};
				\addlegendentry{离子成核};
				
				% Expansion ratio effect (Adiabatic cooling: S ~ (V/V_0)^{(c_p/c_v)}... simplified)
				\addplot[domain=1:1.3, black, thick, ->] coordinates {
					(1.01, 1.5)
					(1.15, 5)
				};
				\node[anchor=south] at (axis cs:1.15, 5.2) {绝热膨胀路径};
				\draw[dotted, thick] (axis cs:1.29, 1.01) -- (axis cs:1.29, 0.9);
				\node[anchor=north] at (axis cs:1.29, 0.9) {临界膨胀比};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{不同类型凝结核所需的临界过饱和度示意图。威尔逊的关键发现是，离子在相对较低的过饱和度下即可成为有效凝结核，且存在一个对应的临界膨胀比阈值。}
		\label{fig:critical_supersaturation}
	\end{figure}
	
	\section{结论与意义}
	
	C.T.R. Wilson在1895--1899年间推导的凝结方程，为其伟大的发明——云室（Cloud Chamber）——奠定了坚实的理论基础。
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{理论意义}: 该方程首次定量地描述了电荷对相变过程的催化作用，将静电学与经典成核理论（Nucleation Theory）优美地结合起来。
		\item \textbf{实验意义}: 方程预言了离子能够触发凝结的特定临界膨胀比，这与威尔逊本人的实验观测完美吻合。他通过精确控制膨胀比，可以选择性地让离子成为凝结核，而让更小的、未带电的簇团蒸发。
		\item \textbf{历史意义}: 这一理论和据此设计的云室，成为了后来粒子物理学发展的关键工具。正是利用威尔逊云室，科学家们首次直接观测到了电子、α粒子、β粒子的径迹，并由Carl D. Anderson在1932年发现了正电子。威尔逊因“通过蒸汽凝结方法显示带电粒子径迹”的贡献获得1927年诺贝尔物理学奖。
	\end{itemize}
	
	因此，威尔逊的凝结方程不仅仅是一个热力学公式，它更是一把开启微观世界大门的钥匙，其影响深远至今。
	